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Jun 11, 2023

Theoretische Studien zum Magnetzünder

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 12599 (2023) Diesen Artikel zitieren 309 Zugriffe auf Metrikdetails Optische Ansätze sind nützlich für die Untersuchung der elektronischen Struktur und Spinstruktur von Materialien.

Wissenschaftliche Berichte Band 13, Artikelnummer: 12599 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Optische Ansätze sind nützlich für die Untersuchung der elektronischen Struktur und Spinstruktur von Materialien. Basierend auf dem Tight-Binding-Modell und der linearen Antworttheorie untersuchen wir hier die magnetooptischen Kerr- und Faraday-Effekte in zweidimensionalen topologischen Isolatoren zweiter Ordnung (SOTI) mit externer Magnetisierung. Wir stellen fest, dass der orbitalabhängige Zeeman-Term Bandkreuzungen für die SOTI-Phase induziert, die für die triviale Phase fehlen. Im schwachen Magnetisierungsbereich führen diese Kreuzungen zu riesigen Sprüngen (Peaks) der Kerr- und Faraday-Winkel (Elliptizität) für die SOTI-Phase. Im Bereich starker Magnetisierung stellen wir fest, dass sich am hochsymmetrischen Punkt der Brillouin-Zone der SOTI-Phase zwei nahezu flache Bänder bilden. Diese flachen Bänder führen zu zwei aufeinanderfolgenden riesigen Sprüngen (Peaks) von Kerr- und Faraday-Winkeln (Elliptizität). Diese Phänomene bieten neue Möglichkeiten zur Charakterisierung und Erkennung der zweidimensionalen SOTI-Phase.

In den letzten Jahren hat das Interesse an den topologischen Eigenschaften von Quantenmaterialien stark zugenommen. Unter diesen wurden die Konzepte topologischer Invarianten auf höhere Ordnungen verallgemeinert1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18. Anders als die herkömmliche Entsprechung zwischen d-dimensionaler Masse und (\(d-1\))-dimensionalen Grenzzuständen in topologischen Isolatoren haben topologische Isolatoren zweiter Ordnung (SOTI) eine Entsprechung zwischen d-dimensionaler Masse und (\(d- 2\))-dimensionale Randzustände. Beispielsweise gibt es in drei Dimensionen (\(d=3\)) eindimensionale Scharnierzustände, die experimentell in Wismut8,19, Wismuthalogenid20 und Wolframditellurid21 beobachtet wurden. Die Rolle, die Scharnierzustände in physikalischen Phänomenen spielen, wurde später enthüllt, einschließlich Interferometer höherer Ordnung22, dreidimensionaler (3D) Quanten-Hall- und quantenanomaler Hall-Effekt23,24, Spintransport25 usw. Im Gegensatz dazu sind zweidimensionale (2D) SOTI hat aufgrund der Schwierigkeiten beim Materialwachstum und der Erkennung von Topologien höherer Ordnung26,27,28 relativ wenig Aufmerksamkeit erhalten.

Optische Messungen können effiziente Möglichkeiten zur Erkennung der Topologie höherer Ordnung bieten, da sie mengenempfindlich sind und nicht auf den Details von Grenzzuständen beruhen. Wenn Licht in magnetische Materialien einfällt, wird sein Drehimpuls auf das reflektierte bzw. durchgelassene Licht übertragen, was zu Drehungen der Polarisationsebenen führt (siehe Abb. 1). Diese entsprechen dem magnetooptischen Kerr- bzw. Faraday-Effekt. Solche Effekte wurden in großem Umfang bei der Erkennung von Zeitumkehrsymmetriebrüchen in verschiedenen Systemen eingesetzt. Bei der Anwendung auf topologische 3D-Isolatoren wurden quantisierte und universelle Faraday- und Kerr-Rotationen vorhergesagt29,30,31 und experimentell beobachtet32,33,34. Kerr- und Faraday-Effekte sind nicht auf 3D-Volumen- oder Filmsysteme beschränkt, sondern können auch auf 2D-Materialien angewendet werden. Beispielsweise kann der polare Kerr-Effekt Fingerabdrücke einer spontan gebrochenen Zeitumkehrsymmetrie in zweischichtigem Graphen liefern35. Experimentell wurden riesige Faraday-Rotationen in Monoschicht-Graphen unter moderaten Magnetfeldern beobachtet36,37. Darüber hinaus wurden magnetooptische Kerr-Effekte auch verwendet, um das ferromagnetische 2D-Verhalten von Monoschichten CrI\(_3\)38 und Cr\(_2\)Ge\(_2\)Te\(_6\)39 experimentell zu demonstrieren. Da magnetooptische Kerr- und Faraday-Effekte den Magnetismus und das Spinverhalten von Elektronen 40,41 charakterisieren können, motiviert es uns, die topologischen Eigenschaften von 2D-SOTI mithilfe dieser Techniken zu untersuchen.

In dieser Arbeit untersuchen wir die magnetooptischen Kerr- und Faraday-Effekte in 2D-SOTI mit Out-of-Plane-Magnetisierung. Wir betrachten das generische Tight-Binding-Modell von 2D-SOTI, das aus dem Modell der topologischen 2D-Isolatoren2,3,42,43 mit einigen symmetriebrechenden Termen konstruiert wurde. Der Vorteil des Modells besteht darin, dass wir die SOTI-Phase durch Einstellen der Parameter ein- und ausschalten können. Dies bietet Möglichkeiten, die Ergebnisse von SOTI mit trivialen Isolatoren zu vergleichen. Das Licht fällt normalerweise aus dem Vakuum in 2D-SOTI und magnetisches Substrat, dessen elektromagnetisches Feld (auch das des reflektierten oder durchgelassenen Lichts) den Standardgleichungen von Maxwell folgt31. Wir beziehen die elektromagnetischen Felder im Vakuum- und Substratbereich durch die modifizierten Randbedingungen unter Einbeziehung der von 2D SOTI beigetragenen Leitfähigkeiten in Beziehung. Durch Lösen dieser Gleichungen werden die Kerr- und Faraday-Winkel dann direkt aus den Reflexions- und Transmissionskoeffizienten des elektrischen Feldes ermittelt. Andererseits werden die endlichen Frequenz-Längs- und Hall-Leitfähigkeiten von 2D-SOTI mithilfe der Kubo-Formel abgeleitet, die auf der Theorie der linearen Reaktion basiert44. Insbesondere der Hall-Leitfähigkeitstensor ist eine Folge der Out-of-Plane-Magnetisierung in 2D-SOTI.

Zur Behandlung der Magnetisierung berücksichtigen wir den Zeeman-Effekt in Multiorbitalsystemen2,43, der in orbitalunabhängige und orbitalabhängige Terme zerlegt werden kann. Durch Symmetrieanalyse stellen wir fest, dass in solchen Systemen nur der orbitalabhängige Zeeman-Term zu den Kerr- und Faraday-Effekten beiträgt. Wir stellen auch fest, dass die Magnetisierung nur für die SOTI-Phase Bandkreuzungen in Leitungs- und Valenzbändern induziert. Im Bereich schwacher Magnetisierung führen diese Kreuzungen zu riesigen Sprüngen (Peaks) der Kerr- und Faraday-Winkel (Elliptizität). Im Bereich starker Magnetisierung bilden sich am hochsymmetrischen X-Punkt der Brillouin-Zone von SOTI zwei nahezu flache Bänder. Diese führen zu zwei aufeinanderfolgenden riesigen Sprüngen (Spitzen) der Kerr- und Faraday-Winkel (Elliptizität) für die SOTI-Phase. Durch die quantitative Analyse stellen wir fest, dass die Modellparameter und die Größenordnung der Drehwinkel für realistische Materialien alle im experimentellen Bereich liegen. Daher liefern diese Phänomene neue Merkmale zur Charakterisierung der SOTI-Phase, die praktische Anwendungen bei der Unterscheidung von SOTI von trivialen Isolatoren haben können.

Schematische Darstellung magnetooptischer Kerr- und Faraday-Effekte in zweidimensionalen topologischen Isolatoren zweiter Ordnung (SOTI) auf einem magnetischen Substrat. \(\theta _K\) und \(\theta _F\) sind Kerr- bzw. Faraday-Winkel. Zur besseren Sichtbarkeit wird das reflektierte Licht etwas verschoben.

Wir betrachten ein generisches Tight-Binding-Modell zweidimensionaler chiraler topologischer Isolatoren zweiter Ordnung \(H(\varvec{k})=H_0(\varvec{k})+H_{\varLambda }(\varvec{k}) +H_z\)7,9,13, mit

Hier ist \(m(\varvec{k})=M-2B[2-\sum _{\alpha =x,y}\cos (k_{\alpha }a)]\) und \(\varLambda (\varvec {k})=\varLambda [\cos (k_xa)-\cos (k_ya)]\). \(k_x\), \(k_y\) sind die Wellenvektoren und a ist der Gitterabstand (auf Eins gesetzt). Pauli-Matrizen \(\sigma _{\alpha }\) und \(s_{\alpha }\) (\(\alpha =0,x,y,z\)) wirken auf die Orbital- bzw. Spinfreiheitsgrade. \(H_0(\varvec{k})\) ist das minimale Tight-Binding-Modell für topologische Isolatoren3,42. \(H_0(\varvec{k})\) beschreibt die topologische Isolationsphase mit lückenlosen Randzuständen, wenn \(0

In diesem Artikel betrachten wir die durch externe Magnetisierung induzierten und nicht die durch Magnetfelder induzierten Kerr- und Faraday-Effekte. Somit gibt es keine Landau-Niveaus und die einzige Folge der Magnetisierung ist die Zeeman-Energie. Für die HgTe-Quantentöpfe2,43 lautet der Zeeman-Term

\(g_E\) und \(g_H\) stammen aus unterschiedlichen effektiven g-Faktoren der elektronischen Orbitale \(|E1\rangle\) und \(|H1\rangle\). Der Zeeman-Term \(H_{zeeman}\) kann in den orbitalunabhängigen Teil \(\sigma _0s_z\) und den orbitalabhängigen Teil \(\sigma _zs_z\) zerlegt werden. Hier kann der orbitalunabhängige Zeeman-Term \(\sigma _0s_z\) vernachlässigt werden, da er zu einer Hall-Antwort von Null führt. Später werden wir es durch Symmetrieanalyse demonstrieren. Daher müssen wir nur den orbitalabhängigen Zeeman-Term berücksichtigen, der in Gleichung mit \(H_z\) umbenannt wird. (1).

Die Symmetrieeigenschaften des Hamilton-Operators \(H(\varvec{k})\) sind in Tabelle 1 zusammengefasst. In Abwesenheit des Zeeman-Terms \(H_z\) ist der Hamilton-Operator \(H(\varvec{k})\) bewahrt die Kombination \({\hat{S}}_4={\hat{C}}_4\hat{\mathcal {I}}\) und \({\hat{C}}_4\hat{\mathcal { T}}\)-Symmetrien, während \(\hat{\mathcal {I}}\), \(\hat{\mathcal {T}}\) und \({\hat{C}}_4\)-Symmetrien gebrochen werden , jeweils. Entweder \(H_z\) oder \(\sigma _0s_z\) bricht die \({\hat{C}}_4\hat{\mathcal {T}}\)-Symmetrie. Zusätzlich gibt es eine „versteckte“ Symmetrieoperation \(\hat{\mathcal {P}}=\sigma _xs_y\mathcal {K}\), die die Zustände mit dem Impuls \((k_x,\pm k_y)\) in Beziehung setzt kann durch \(H_z\) anstelle von \(\sigma _0s_z\) gebrochen werden. Der Einfluss von \(\hat{\mathcal{P}}\) auf die Hall-Leitfähigkeit \(\sigma_{xy}\) wird im Folgenden diskutiert.

Der optische Leitfähigkeitstensor kann mithilfe der Kubo-Formel44 angegeben werden

wobei sich \(\epsilon _{\varvec{k}\mu }\) und \(|\varvec{k},\mu \rangle\) auf den Eigenwert und den Eigenzustand des Hamilton-Operators \(H(\varvec{k}) beziehen. )\) aus Gl. (1). \(\mu , \mu '=\{1,2,3,4\}\) sind Bandindizes. Bei Nulltemperatur ist die Fermi-Dirac-Verteilung \(f_{\varvec{k} \mu }=1/[1+\exp ((\epsilon _{\varvec{k}\mu }-\epsilon _F)/k_BT )]=\Theta (\epsilon _F-\epsilon _{\varvec{k}\mu })\), wobei \(\epsilon _F\) die Fermi-Energie ist und \(\Theta (...)\) ist die Heaviside-Funktion. \(\omega\) ist die Photonenenergie und \(\tau _s\) ist die Relaxationszeit der Massenzustände. Der Beitrag von Randzuständen zu \(\tau _s\) kann getrost vernachlässigt werden, wenn das Licht von den Randbereichen wegstrahlt. Der aktuelle Operator lautet \(j_{\alpha }=(e/\hbar )\partial H(\varvec{k})/\partial k_{\alpha }\), mit \(\alpha ,\beta =\{x , y\}\).

Wenn der orbitalunabhängige Zeeman-Term \(g\sigma _0s_z\) berücksichtigt wird, behält der Hamiltonoperator \(H(\varvec{k})\) die \(\hat{\mathcal {P}}\)-Symmetrie bei (siehe Tabelle 1). Infolgedessen erfüllen die Eigenzustände mit Impuls \((k_x,\pm k_y)\) die Beziehungen \(\epsilon _{\varvec{k}\mu }=-\epsilon _{(k_x,-k_y){\ bar{\mu }}}\) und \(|\varvec{k},\mu \rangle =e^{i\phi }\hat{\mathcal {P}}|k_x,-k_y,{\bar{ \mu }}\rangle\), wobei \(\phi\) ein beliebiger Phasenfaktor ist. Darüber hinaus hat das System die Teilchen-Loch-Symmetrie \(\epsilon _{\varvec{k}\mu }=-\epsilon _{\varvec{k}{\bar{\mu }}}\), wobei \( \mu\) und \({\bar{\mu }}\) beschriften ein Paar teilchenlochsymmetrischer Bänder. Als anti-unitärer Operator stellt \(\hat{\mathcal {P}}\) die folgenden Beziehungen zwischen aktuellen Matrixelementen her: \(\langle \varvec{k},\mu |j_x|\varvec{k}, \mu ^{'}\rangle= \langle k_x,-k_y,\bar{\mu ^{'}}|j_x|k_x,-k_y,{\bar{\mu }}\rangle\) und \(\ langle \varvec{k},\mu |j_y|\varvec{k},\mu ^{'}\rangle= -\langle k_x,-k_y,\bar{\mu ^{'}}|j_y|k_x, -k_y,{\bar{\mu }}\rangle\). Um einen Einblick zu gewinnen, können wir den optischen Leitfähigkeitstensor in \(\varvec{k}\)-aufgelöste Komponenten \(\sigma _{\alpha \beta }(\omega )=\sum _{\varvec{k} }\sigma _{\alpha \beta }(\varvec{k},\omega )\). Als Konsequenz finden wir, dass \(\sigma _{\alpha \alpha }(\varvec{k},\omega )=\sigma _{\alpha \alpha }(k_x,-k_y,\omega )\) für \(\alpha =x,y\), und \(\sigma _{xy}(\varvec{k},\omega )\) \(=-\sigma _{xy}(k_x,-k_y,\omega )\). Dies weist darauf hin, dass die Hall-Leitfähigkeit \(\sigma_{xy}(\omega)=0\) ist, wenn nur der orbitalunabhängige Zeeman-Term berücksichtigt wird. Im Gegensatz dazu bricht der orbitalabhängige Zeeman-Term \(H_z\) die \(\hat{\mathcal {P}}\)-Symmetrie und führt somit zu einem von Null verschiedenen \(\sigma_{xy}(\omega)\ ).

Wenn sich Licht entlang der \(-z\)-Richtung in zweidimensionale topologische Isolatoren zweiter Ordnung ausbreitet, die auf einem magnetischen Substrat aufgebracht sind (siehe Abb. 1), werden die Kerr- und Faraday-Winkel als die relativen Drehungen zwischen links- und rechtshändig definiert zirkular polarisiertes Licht:30,31

wobei das elektrische Feld \(E_{\pm }^{(l)}=E_{x}^{(l)}\pm iE_{y}^{(l)}\) und \(l=r,t \) beziehen sich auf das reflektierte bzw. durchgelassene Licht. Die Reflexionskoeffizienten (Transmissionskoeffizienten) werden angezeigt

wobei \(\sigma _{\pm }=\) \(\sigma _{xx}\) ± \(i\sigma _{xy}\) und \(Z_0=c\mu _0\) \(=\ sqrt{\mu _0/\epsilon _0}\) \(=376,7\Omega\) ist die Impedanz des Vakuums. \(\epsilon _r\) und \(\mu _r\) sind die Dielektrizitätskonstante bzw. die magnetische Permeabilität. Dann können \(\theta _K\) und \(\theta _F\) erhalten werden. Einzelheiten zu diesen Berechnungen finden Sie unter Methoden. Zusätzlich können wir die Kerr- und Faraday-Elliptizität \(\gamma _K\), \(\gamma _F\):45 einführen

Durch die Kombination von \(\theta _K\), \(\theta _F\) und \(\gamma _K\), \(\gamma _F\) können komplexe Kerr- und Faraday-Winkel eingeführt werden40,46

Phasendiagramm des Modell-Hamilton-Operators (1) gegen M für verschiedene Parameterbereiche. C und \(\nu\) sind die Chern-Zahl bzw. die topologische Invariante zweiter Ordnung. \(g_{\varLambda }=\sqrt{g^2-4\varLambda ^2}\).

Energiespektrum und Wellenfunktionsverteilung von 2D-topologischen Isolatoren zweiter Ordnung (SOTI) endlicher Größe für die Parameter (a), (b) \(M/t=1\) (SOTI-Phase), (c), (d) \ (M/t=0\) (Chern-Phase) und (e), (f) \(M/t=-1\) (triviale Phase). (b), (d) und (f) bezeichnen die Summe der Verteilungen \(\sqrt{\sum _{i=1}^4|\psi _i|^2}\) der vier in (a) hervorgehobenen Zustände, (c) bzw. (e). In den vier Ecken von (b) liegen Eckzustände vor. Die Stichprobengröße beträgt 40 x 40. Parameter: \(t=0,06\) eV43, \(B/t=0,25\), \(\varLambda /t=1,0\), \(g/t=0,4\).

Hier zeigen wir numerische Ergebnisse der optischen Leitfähigkeiten, Kerr- und Faraday-Winkel und Elliptizität für 2D-chirales SOTI in Gegenwart einer Magnetisierung außerhalb der Ebene. Ohne Magnetisierung beschreibt Modell-Hamiltonian (1) eine topologische Phase zweiter Ordnung (\(\nu =1\))9,13,47,48, wenn \(0

mit dem Bandindex \(\mu =1,2,3,4\). Die Volumenbandlücke zwischen zwei Mittelbändern schließt sich beim hochsymmetrischen Impuls \(\Gamma =(0,0)\), wenn \(g=|M|\); bei \(M=(\pi ,\pi )\) wenn \(g=|M-8B|\); bei \(X=(\pi ,0)\) und \(Y=(0,\pi )\) wenn \(g=\sqrt{(M-4B)^2+4\varLambda ^2}\) . Dadurch können durch Abstimmung der Parameter unterschiedliche topologische Phasen mit unterschiedlicher Chern-Zahl C realisiert werden. Die Phasendiagramme des Modell-Hamiltonoperators (1) sind in Abb. 2 dargestellt, wo sowohl die Chern-Zahl C als auch die topologische Invariante zweiter Ordnung \(\nu\) angegeben sind. Für verschiedene Parameterbereiche können die Phasendiagramme sehr unterschiedlich sein. Um die Diskussion deutlicher zu machen, konzentrieren wir uns hauptsächlich auf zwei Parameterbereiche: den Fall einer schwachen und einer starken Magnetisierung, entsprechend den Fällen (a) und (e) von Abb. 2.

Banddispersionen und Zustandsdichte (DOS) von zweidimensionalen topologischen Isolatoren zweiter Ordnung (SOTI) mit schwacher Magnetisierung für die Parameter (a), (d) \(M/t=1\), (b), (e) \( M/t=0\) und (c), (f) \(M/t=-1\). Die Dispersionen sind entlang der hochsymmetrischen Linien der Brillouin-Zone aufgetragen, wie im Einschub von (a) angegeben. Die optisch induzierten inneren (äußeren) Interbandübergänge \(T_i\) (\(T_o\)) werden durch blaue (lila) Doppelpfeile dargestellt. Ohne Magnetisierung entsprechen \(M/t=1\), 0 und \(-1\) SOTI, Halbmetall bzw. trivialer Isolator. Bei Vorliegen einer Magnetisierung wird jeweils die Chern-Zahl angegeben. Parameter: \(t=0,06\) eV43, \(B/t=0,25\), \(\varLambda /t=1,0\), \(g/t=0,4\).

A. Schwache Magnetisierung. Zunächst betrachten wir den Fall mit schwacher Magnetisierung, entsprechend Abb. 2a. In diesem Fall sind \(X=(\pi ,0)\) und \(Y=(0,\pi )\) keine Lückenschlusspunkte mehr für einen bestimmten Parameter. Infolgedessen wird die Chern-Zahl zu \(C=1\), wenn \(-g< M < g\) oder \(8B-g< M < 8B+g\), andernfalls \(C=0\). . Um die topologischen Eigenschaften zu überprüfen, zeichnen wir das Energiespektrum und die Wellenfunktionsverteilung von Proben endlicher Größe in Abb. 3 für die Parameter \(M/t=1\), 0 und \(-1\) mit \(B/ t=0,25\). Ohne Magnetisierung entsprechen diese Parameter der SOTI-, Halbmetall- bzw. Trivialphase. Wenn die Magnetisierung gemäß Abb. 2a induziert wird, entsprechen diese Parameter der SOTI-, Chern-Isolierphase bzw. der trivialen Phase. In Abb. 3a und b können wir die Existenz von Nullenergie-Eckzuständen sehen. In Abb. 3c und d können wir die Existenz lückenloser Randzustände sehen. Solche Realraumberechnungen belegen unsere Ergebnisse des Phasendiagramms.

Die Banddispersionen entlang der hochsymmetrischen Linien der Brillouin-Zone sind in Abb. 4 dargestellt. Es werden verschiedene Werte von M berücksichtigt und die Chern-Zahlen sind ebenfalls gekennzeichnet. Beachten Sie, dass das Modell symmetrisches Verhalten zwischen den Parametern \(M>4B\) und \(M<4B\) zeigt. Daher wählen wir nur Parameter mit \(M\le 4B\), einschließlich \(M/t=1\). , 0 und \(-1\). \(T_i\) (\(T_o\)) beschriftet die optischen Übergänge für zwei innere (äußere) Zweige von Bändern. Bemerkenswerterweise gibt es neue Kreuzungen sowohl im Leitungs- als auch im Valenzband von SOTI in der \(\Gamma-M\)-Richtung (siehe Abb. 4a), die in der trivialen Phase fehlen. Der topologische Schutz von Bandkreuzungen kann verstanden werden, wenn man bedenkt, dass in der \(\Gamma -M\)-Richtung (d. h. \(k_x=k_y\)) \(H_{\varLambda }(\varvec{k})= 0\) für Hamiltonoperator (1). Damit reduziert sich das Modell auf das Modell topologischer Isolatoren. Für die topologische Isolierphase (\(0

Real- und Imaginärteil der optischen Leitfähigkeiten (a–b) \(\sigma _{xx}\) und (c–d) \(\sigma _{xy}\) (in Einheiten von \(e^2/h\) )) als Funktionen der Photonenenergie \(\omega\) (in Einheiten von t) für 2D-SOTI mit schwacher Magnetisierung. Die Pfeile markieren die Energien optisch induzierter innerer (äußerer) Interbandübergänge \(T_i\) (\(T_o\)). Der universelle Wert von \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\) im Niedrigenergiegrenzwert ist in (c) rot hervorgehoben. Parameter: \(t=0,06\) eV43, \(B/t=0,25\), \(\varLambda /t=1,0\), \(g/t=0,4\), \(\epsilon _r=4\ )31,45, \(\mu _r=1\), \(\hbar /\tau _s=0.05\), \(E_F=0\).

Der Real- und Imaginärteil der optischen Leitfähigkeiten \(\sigma _{xx}\) und \(\sigma _{xy}\) sind in Abb. 5 dargestellt, wobei wir der Einfachheit halber die Fermi-Energie \(E_F=0\) eingestellt haben. ). Ein auffälliger Unterschied zwischen SOTI (\(M/t=1\)) und trivialen Isolatoren (\(M/t=-1\)) liegt in ihrer Größenordnung. In SOTI werden \(\sigma _{xx}\) und \(\sigma _{xy}\) aufgrund der Existenz zusätzlicher Kanäle von Interbandübergängen verbessert. Schwellenphotonenenergien für die Interbandübergänge \(T_{i}\) und \(T_o\) sind in Abb. 5 durch Pfeile angegeben. An diesen Übergängen ist \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\ ) und \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\) zeigen plötzliche Sprünge, während \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\) und \(\textrm{Im}[\ Sigma _{xx}]\) zeigen positive oder negative Spitzen. Beispielsweise zeigt in Abb. 5a \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\) plötzliche Sprünge für \(M/t=\pm 1\) bei \(\omega /t=1,2\ ) aufgrund der Aktivierung innerer Interbandübergänge \(T_i\). Bei \(\omega /t=2,8\) treten aufgrund der Aktivierung äußerer Interbandübergänge \(T_o\) weitere Sprünge auf. Bei mittlerer Photonenenergie \(\omega\) wird die Größe von \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\) für SOTI (\(M/t=1\)) viel größer als bei trivialen Isolatoren (\(M/t=-1\)). Dies wird auf die Kreuzungspunkte entlang der \(\Gamma M\)-Linie der Brillouin-Zone von SOTI (siehe Abb. 4a) zurückgeführt, die neue Kanäle von Interbandübergängen bei einem nicht hochsymmetrischen Impuls entlang der \(\ Gamma M\)-Linie. Darüber hinaus haben die Zustände am hochsymmetrischen Punkt \(M=(\pi ,\pi )\) aufgrund der Bandentartung zwischen \(\Gamma\) und M nicht vernachlässigbare Beiträge. Diese tragen zusammen zu der großen Größe bei von \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\) in SOTI. Ähnliche Argumente können für \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\) angegeben werden (siehe Abb. 5d). Andererseits sind \(\textrm{Im}[\sigma _{xx}]\) und \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\) proportional zur Steigung von \(\textrm {Re}[\sigma _{xx}]\) bzw. \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\), wodurch große Sprünge in der Nähe der kleinen Spitzen bei \(\omega /t=) auftreten 2.8\) (siehe Abb. 5b und c). Bei noch höherer Photonenenergie wird die Größe von \(\sigma_{xx}\) und \(\sigma_{xy}\) aufgrund der Schließung optischer Interbandübergänge stark reduziert.

(a) Kerr- und (c) Faraday-Winkel und (b) Kerr- und (d) Faraday-Elliptizität als Funktionen der Photonenenergie \(\omega\) (in Einheiten von t) für 2D-SOTI. Die Pfeile markieren die Energien optisch induzierter innerer (äußerer) Interbandübergänge \(T_i\) (\(T_o\)). Die universellen Werte von \(\theta _K\) und \(\theta _F\) in der Niedrigenergiegrenze sind in (a) und (c) rot hervorgehoben. Parameter: \(t=0,06\) eV43, \(B/t=0,25\), \(\varLambda /t=1,0\), \(g/t=0,4\), \(\epsilon _r=4\ )31,45, \(\mu _r=1\), \(\hbar /\tau _s=0.05\), \(E_F=0\).

Nach Gl. (8) sind die Bedingungen für das Auftreten von Kreuzungspunkten durch \(m(\varvec{k})=\varLambda (\varvec{k})=0\) gegeben. Das heißt, \(k_x=k_y\) (\(\Gamma M\) Linie) und \(M-4B[1-\cos (k_{x})]=0\). Die kritischen Werte der Parameter sind \(M=0\) und \(M=8B\), die genau mit dem Parameterbereich für SOTI übereinstimmen. Das bedeutet, dass die große Größe von \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\), \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\) und der riesige Sprung von \(\ textrm{Im}[\sigma _{xx}]\), \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\) kann möglicherweise zur Charakterisierung der SOTI-Phase verwendet werden. Dieses Argument gilt jedoch nicht für den kritischen Wert \(M=0\), in diesem Fall treibt die Magnetisierung das System in Chern-Isolatoren mit der Chern-Zahl \(C=1\) (siehe Abb. 4b). In dieser Situation kann die Chern-Isolierphase durch die ganzzahlige Hall-Leitfähigkeit im Niedrigenergiegrenzwert unterschieden werden, d. h. \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]=e^2/h\) as in Abb. 5c hervorgehoben.

Die Kerr- und Faraday-Winkel \(\theta _K\), \(\theta _F\) und die Elliptizität \(\gamma _K\), \(\gamma _F\) sind in Abb. 6 aufgetragen. Es ist offensichtlich, dass \( \theta _K\) und \(\theta _F\) (auch \(\gamma _K\) und \(\gamma _F\)) sind komplementär zueinander. Grundsätzlich zeigt \(\theta _F\) (\(\theta _K\)) das gleiche (entgegengesetzte) Verhalten wie \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\) in Abb. 5c. Dies kann aus Gleichung verstanden werden. (5), wobei \(Z_0\sigma _{\pm }\ll 1\) als Störungen behandelt werden können. Nach etwas Algebra haben wir \(\theta _F\propto -\theta _K\propto \textrm{Re}[\sigma _{xy}]\). Dies bedeutet, dass Kerr- und Faraday-Winkel die Eigenschaften der Hall-Leitfähigkeit \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\) erben und daher auch zur Charakterisierung des SOTI verwendet werden können. \(\gamma _K\) und \(\gamma _F\) scheinen eher die Eigenschaften von \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\) zu erben, die zusammen mit den Kerr- und Faraday-Winkeln kann verwendet werden, um SOTI von trivialen Isolatoren zu unterscheiden.

Banddispersionen und Zustandsdichte (DOS) von zweidimensionalen topologischen Isolatoren zweiter Ordnung (SOTI) mit starker Magnetisierung für die Parameter (a), (c) \(M/t=4\) und (b), (d) \( M/t=-6\). Die optisch induzierten inneren (äußeren) Interbandübergänge \(T_{i/o}\) bei \(\Gamma\), \(X_{i/o}\) bei X und \(R_{i/o}\ ) an den Kreuzungspunkten sind durch Doppelpfeile dargestellt. Ohne Magnetisierung entsprechen \(M/t=4\) und \(-6\) SOTI bzw. trivialer Isolator. Bei Vorliegen einer Magnetisierung wird jeweils die Chern-Zahl angegeben. Parameter: \(t=0,06\) eV43, \(B/t=1\), \(\varLambda /t=0,5\), \(g/t=5\).

B. Starke Magnetisierung. Betrachten wir nun den Fall mit starker Magnetisierung, entsprechend Abb. 2e. Wir betrachten zwei repräsentative Parameter: \(M/t=4\) und \(M/t=-6\). Ohne Magnetisierung entsprechen sie der SOTI- bzw. der Trivialphase. Wenn eine starke Magnetisierung induziert wird, wird die Bandstruktur stark verändert und \(M/t=4\) reduziert sich nun auf die triviale Isolationsphase. Im Folgenden zeigen wir jedoch, dass \(M/t=4\) und \(M/t=-6\) unterschiedliche optische Merkmale aufweisen, da sie in Abwesenheit von Magnetisierung aus unterschiedlichen topologischen Phasen stammen.

Die Banddispersionen entlang der hochsymmetrischen Linien der Brillouin-Zone sind in Abb. 7 dargestellt, wobei zwei repräsentative Parameter berücksichtigt werden: \(M/t=4\) (SOTI) und \(M/t=-6\) ( trivial). Wir stellen fest, dass es ähnlich wie bei schwacher Magnetisierung Kreuzungen sowohl im Leitungs- als auch im Valenzband von SOTI gibt, die in der trivialen Phase fehlen. Die optischen Schwellenübergänge für zwei innere (äußere) Bandzweige werden als \(T_{i/o}\) am \(\Gamma\)-Punkt, \(X_{i/o}\) bei X und \( R_{i/o}\) an den Kreuzungspunkten. Am \(\Gamma\)- oder M-Punkt der Brillouin-Zone sind Übergänge \(T_{i/o}\) zulässig, da Anfangs- und Endzustand den gleichen Spindrehimpuls haben. Am X-Punkt ist \(H_{\varLambda }(\varvec{k})\) aus Gl. (1) mischt Zustände mit unterschiedlichen Spins, obwohl innere und äußere Zustände orthogonal zueinander sind. Daher sind nur Übergänge \(X_{i/o}\) innerhalb innerer oder äußerer Zustände zulässig.

Die optischen Leitfähigkeiten \(\sigma _{xx}\) und \(\sigma _{xy}\) sind in Abb. 8 dargestellt, wobei die Interbandübergänge, die zu den Spitzen und Sprüngen beitragen, durch Pfeile gekennzeichnet sind. Wir stellen fest, dass SOTI größere Peaks von \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\) und Sprünge von \(\textrm{Im}[\sigma _{xx}]\) aus optischen Übergängen \( R_{i/o}\) als triviale Isolatoren. Dennoch sind ihre Unterschiede viel geringer als im Fall der schwachen Magnetisierung. Dies ist auf den Verlust entarteter Kanäle optischer Übergänge zurückzuführen, die durch starke Magnetisierung verursacht werden. Andererseits induziert eine starke Magnetisierung für SOTI nahezu flache Bänder am X_{i/o}\) (siehe Abb. 7c). Dies könnte eine weitere Möglichkeit sein, SOTI von trivialen Isolatoren zu unterscheiden.

Real- und Imaginärteil der optischen Leitfähigkeiten (a–b) \(\sigma _{xx}\) und (c–d) \(\sigma _{xy}\) (in Einheiten von \(e^2/h\) )) als Funktionen der Photonenenergie \(\omega\) (in Einheiten von t) für 2D-SOTI mit starker Magnetisierung. Die Pfeile markieren die Energien der optisch induzierten inneren (äußeren) Interbandübergänge \(T_{i/o}\), \(X_{i/o}\) und \(R_{i/o}\). Parameter: \(t=0,06\) eV43, \(B/t=1\), \(\varLambda /t=0,5\), \(g/t=5\), \(\epsilon _r=4\ )31,45, \(\mu _r=1\), \(\hbar /\tau _s=0.05\), \(E_F=0\).

Die resultierenden Kerr- und Faraday-Winkel und Elliptizitäten sind in Abb. 9 dargestellt. Es gibt zwei aufeinanderfolgende Riesensprünge (Peaks) sowohl in \(\theta _K\) als auch in \(\theta _F\) (\(\gamma _K\) und \(\gamma _F\)), die aus optischen Übergängen \(X_{i/o}\) für SOTI stammen. Im Gegensatz dazu gibt es für triviale Isolatoren nur einen kleinen Sprung oder Peak von optischen Übergängen \(X_{i}\). Im Vergleich zu schwacher Magnetisierung neigt eine starke Magnetisierung dazu, die Größe der Kerr- und Faraday-Winkel sowie die Elliptizität zu unterdrücken. Die Verringerung der Kerr- und Faraday-Winkel und der Elliptizität ist auf die Vergrößerung der durch starke Magnetisierung veränderten Bandlücken zurückzuführen. Dies führt zur Unterdrückung optischer Hall-Leitfähigkeiten und damit zur Verringerung der Kerr- und Faraday-Rotation. Diese Verringerung unter starker Magnetisierung unterscheidet sich von der allgemeinen Ansicht magnetooptischer Effekte aufgrund eines starken Magnetfelds, bei dem Landau-Niveaus gebildet werden. Hier induziert die Magnetisierung keine Landau-Niveaus, sondern verändert lediglich die Bandstruktur. Doch selbst für die reduzierten Kerr- und Faraday-Winkel und die Elliptizität liegen sie immer noch im experimentellen Bereich.

(a) Kerr- und (c) Faraday-Winkel und (b) Kerr- und (d) Faraday-Elliptizität als Funktionen der Photonenenergie \(\omega\) (in Einheiten von t) für 2D-SOTI mit starker Magnetisierung. Die Pfeile markieren die Energien der optisch induzierten inneren (äußeren) Interbandübergänge \(T_{i/o}\), \(X_{i/o}\) und \(R_{i/o}\). Parameter: \(t=0,06\) eV43, \(B/t=1\), \(\varLambda /t=0,5\), \(g/t=5\), \(\epsilon _r=4\ )31,45, \(\mu _r=1\), \(\hbar /\tau _s=0.05\), \(E_F=0\).

Numerische Ergebnisse basieren hauptsächlich auf den Modellparametern von HgTe-Quantentöpfen. \(t=0,06\) eV und \(M/t=1\) sind durch Abstimmung der Quantentopfdicke experimentell erreichbar2,43. Der starke Magnetisierungsbereich erfordert \(g/B>4\), was darauf hindeutet, dass \(g>0,1\) eV. Dies kann in Mn-dotierten HgTe-Quantentöpfen unter starkem Magnetfeld51, Cr-dotiertem (BiSb)\(_2\)Te\(_3\)-Dünnfilm52 oder einschichtigem MoTe\(_2\) auf EuO-Substrat53 realisiert werden. Die Photonenenergie reicht von 0,01 eV bis 0,6 eV, entsprechend den Terahertz- und Ferninfrarotfrequenzen32,33,34,54. Im schwachen Magnetisierungsbereich betragen die Rotationswinkel mehrere zehn Mrad, was in der gleichen Größenordnung liegt wie experimentelle Ergebnisse von Bi\(_2\)Se\(_3\) auf Al\(_2\)O\(_3\) Substrat32. Im Bereich starker Magnetisierung betragen die Rotationswinkel einige Mrad und liegen in der gleichen Größenordnung wie experimentelle Ergebnisse von gespanntem HgTe und Bi\(_2\)Se\(_3\) auf InP-Substrat33,34. Unsere Studien können auch auf andere vorgeschlagene 2D-SOTI angewendet werden, wie z. B. Graphdiin26, Bi auf EuO-Substrat27 und Monoschicht-FeSe28.

Um SOTI aus magnetisch dotiertem TI zu realisieren, muss die Existenz des Termes \(H_{\varLambda }(\varvec{k})\) in Gl. (1) ist wesentlich. Gemäß Tabelle 1 sind \(H_{\varLambda }(\varvec{k})\) Termbrüche \(\hat{\mathcal {T}}\) und \(\hat{\mathcal {I}}\) Symmetrien unter Beibehaltung der \({\hat{C}}_4\hat{\mathcal {T}}\)- und \({\hat{C}}_4\hat{\mathcal {I}}\)-Symmetrien. Physikalisch kann der \(H_{\varLambda }(\varvec{k})\)-Term auf zwei mögliche Arten realisiert werden. Eine besteht darin, Orbitalströme zu induzieren, die die Zeitumkehrsymmetrie in x- und y-Richtung entgegengesetzt brechen. Die andere besteht darin, (\(\pi\), \(\pi\), 0) nichtkollineare antiferromagnetische Ordnung im System zu induzieren. Einzelheiten zu diesem Thema sind eine weitere Untersuchung wert.

Beachten Sie, dass in unserem Aufbau (siehe Abb. 1) der Einfachheit halber ein halbunendliches magnetisches Substrat angenommen wird. Für realistische Proben sollte die Rolle der Substratdicke berücksichtigt werden. Aufgrund der vorherigen Arbeit31 wissen wir, dass die Ergebnisse unabhängig von den Substrateigenschaften sind, wenn die Substratdicke viel kleiner als die Lichtwellenlänge im Niederfrequenzbereich ist. Durch die Erhöhung der Dicke wird die Größe der Kerr- und Faraday-Winkel unterdrückt. Insbesondere wenn die Resonanzbedingungen erfüllt sind, d. h. die Substratdicke eine ganze Zahl halber Wellenlängen enthält, zeigen Kerr- und Faraday-Winkel Oszillationen vom Fabry-Perot-Typ und werden wieder unabhängig von den Substrateigenschaften.

Da Elliptizität ein dispersiver Effekt ist und empfindlich auf die Verzerrungen des dielektrischen Tensors reagiert, ist sie möglicherweise nicht für die Erkennung von 2D-SOTI geeignet. Elliptizität kann als Ergänzung zu Kerr- und Faraday-Winkeln dienen, die zusammen zur Charakterisierung der 2D-SOTI-Phase verwendet werden können. Darüber hinaus kann der Vergleich zwischen Elliptizität und Rotationswinkel Aufschluss über Verzerrungen oder Inhomogenitäten des Systems geben.

Magnetooptische Kerr- und Faraday-Effekte wurden auch in topologischen Isolatoren30 und topologischen Floquet-Isolatoren55 untersucht. Im Gegensatz dazu konzentrieren wir uns auf das SOTI mit Proximity-Magnetisierung und nicht auf die Einführung der Landau-Niveaus55. Als Folge der Aufhebung der Inversionssymmetrie kann an der Grenzfläche außerdem eine Rashba-Spin-Bahn-Wechselwirkung eingeführt werden. Dies kann die Spin- und Pseudospin-Strukturen elektronischer Bänder verändern und zusätzliche Kanäle für optische Interbandübergänge induzieren. Das Vorhandensein einer Störstellenstreuung beeinflusst die Relaxationszeit \(\tau _s\) in Gl. (3), was zu einer Verbreiterung der Spitzen und Sprünge für Kerr- und Faraday-Winkel und Elliptizität führt31. Für Oberflächenzustände der topologischen Isolatoren Bi\(_2\)Se\(_3\) und Bi\(_2\)Te\(_3\)56,57 liegt ein hexagonaler Verzerrungsterm vor. Dieser Term kann die Interbandübergänge, die Fermi-Geschwindigkeit und die Zustandsdichte modifizieren, was zu einer quasilinearen Form von \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\) mit einer konkaven Aufwärtsbiegung führt58,59. Unsere Diskussion konzentriert sich auf die Nulltemperaturgrenze, und die steigende Temperatur tendiert dazu, das Ausmaß der Spitzen und Sprünge der Kerr- und Faraday-Rotationen zu unterdrücken33. Solange die Temperatur jedoch nicht hoch genug ist, sollten die Hauptmerkmale noch erkennbar sein.

Abschließend haben wir die magnetooptischen Kerr- und Faraday-Effekte in zweidimensionalen topologischen Isolatoren zweiter Ordnung untersucht. Durch Symmetrieanalyse stellen wir fest, dass zur Beobachtung der Kerr- und Faraday-Effekte in solchen Systemen der Zeeman-Term orbitalabhängig und nicht orbitalunabhängig sein muss. Die Magnetisierung induziert nur in der SOTI-Phase neue Kreuzungen in Leitungs- und Valenzbändern. Im Bereich schwacher Magnetisierung führen diese Kreuzungen zu riesigen Peaks von \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\), \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\) und riesige Sprünge von \(\textrm{Im}[\sigma _{xx}]\), \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\). Infolgedessen zeigen Kerr- und Faraday-Winkel (Elliptizität) \(\theta _K\) und \(\theta _F\) (\(\gamma _K\) und \(\gamma _F\)) nur riesige Sprünge (Peaks). in der SOTI-Phase. Im Bereich starker Magnetisierung bilden sich für SOTI nahezu flache Bänder am X-Punkt. Diese führen zu zwei aufeinanderfolgenden Riesenspitzen von \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\), \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\) und Riesensprüngen von \( \textrm{Im}[\sigma _{xx}]\), \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\). In diesem Sinne zeigen Kerr- und Faraday-Winkel (Elliptizität) \(\theta _K\) und \(\theta _F\) (\(\gamma _K\) und \(\gamma _F\)) nur riesige Sprünge (Peaks). in der SOTI-Phase. Diese Phänomene könnten möglicherweise genutzt werden, um den SOTI von trivialen Isolatoren zu unterscheiden. Beachten Sie, dass unser Vorschlag möglicherweise nicht auf den Bereich nahe der topologischen Phasengrenze anwendbar ist, wie z. B. \(M=0\), der unter Magnetisierung in die Chern-Isolierphase getrieben werden kann.

Wir betrachten ein Licht, das sich entlang der \(-z\)-Richtung vom Vakuum in ein 2D-Material (bei \(z=0\)) ausbreitet, das auf einem magnetischen Substrat abgeschieden ist (siehe Abb. 1). Im Vakuum (\(z>0\)) beträgt das elektrische Feld des einfallenden Lichts

wobei \(\omega\) und c sich auf die Energie bzw. Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beziehen. Für das reflektierte Licht ergibt sich das elektrische Feld

Im magnetischen Substrat (\(z<0\)) beträgt das elektrische Feld des durchgelassenen Lichts

wobei der Brechungsindex \(n_r=\sqrt{\epsilon _r\mu _r}\). \(\epsilon _r\) und \(\mu _r\) sind die Dielektrizitätskonstante bzw. die magnetische Permeabilität. Nach dem Faradayschen Gesetz \(\nabla \times \varvec{E}=-\partial \varvec{B}/\partial t\) folgt das magnetische Feld des Lichts

Basierend auf den Maxwell-Gleichungen sind die Randbedingungen bei \(z=0\) gegeben durch

wobei die aktuelle Dichte im 2D-Material die Beziehungen \(j_{\alpha }=\sum _{\beta =x,y}\sigma _{\alpha \beta }E_{\beta }.\) \(\ epsilon _0\) und \(\mu _0\) sind Vakuumpermittivität bzw. Permeabilität. Indem wir die Formen des elektrischen und magnetischen Feldes in die obigen Gleichungen einsetzen, können wir die Beziehungen der Koeffizienten aus den Gleichungen erhalten. (9)–(11).

Jetzt führen wir eine Streumatrix zwischen ein- und ausgehenden elektrischen Feldern ein

Wo

und ähnlich für \(R'\), \(T'\). Die detaillierte Form von R, T kann mithilfe der Randbedingungen (13) bestimmt werden. Als Ergebnis finden wir das

wobei \(D=(\frac{1}{Z_0}+\frac{1}{Z_0}\sqrt{\frac{\epsilon _r}{\mu _r}}+\sigma _{xx})^2+ \sigma_{xy}^2\) und \(Z_0=c\mu _0=\sqrt{\mu _0/\epsilon _0}=376,7\Omega\) ist die Impedanz des Vakuums. Bei der Ableitung haben wir die Beziehungen \(\sigma _{xx}(\omega )=\sigma _{yy}(\omega )\) und \(\sigma _{xy}(\omega )=-\ sigma _{yx}(\omega )\), die für unser System geeignet sind. Gemäß der Definition des Kerr- und Faraday-Winkels aus Gl. (4) brauchen wir

wobei \(\sigma _{\pm }=\sigma _{xx}\pm i\sigma _{xy}\). Dies gibt die Ergebnisse in Gl. wieder. (5).

Auf begründete Anfrage stellt der entsprechende Autor alle relevanten Daten in diesem Dokument zur Verfügung.

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Diese Arbeit wird von der National Natural Science Foundation of China (NSFC, Grant No. 11904062), dem Starting Research Fund der Guangzhou University (Grant No. RQ2020076) und dem Guangzhou Basic Research Program unterstützt, das gemeinsam von der Guangzhou University finanziert wird (Grant No. 202201020186). ).

Fachbereich Physik, Fakultät für Physik und Materialwissenschaften, Universität Guangzhou, Guangzhou, 510006, China

Wan-Qing Zhu und Wen-Yu Shan

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W.-QZ und W.-YS führten die theoretischen Berechnungen durch und verfassten das Manuskript. W.-YS leitete das Gesamtprojekt. Alle Autoren haben das Manuskript überprüft.

Korrespondenz mit Wen-Yu Shan.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

Springer Nature bleibt neutral hinsichtlich der Zuständigkeitsansprüche in veröffentlichten Karten und institutionellen Zugehörigkeiten.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Zhu, WQ., Shan, WY. Theoretische Untersuchungen magnetooptischer Kerr- und Faraday-Effekte in zweidimensionalen topologischen Isolatoren zweiter Ordnung. Sci Rep 13, 12599 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-39644-y

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Eingegangen: 06. Juni 2023

Angenommen: 28. Juli 2023

Veröffentlicht: 03. August 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-39644-y

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